Problem koji je čekao novi jezik
U 17. veku fizičari i matematičari morali su da računaju brzinu u tačno jednom trenutku, nagib krive u jednoj tački i površinu ispod nepravilne linije. Stara geometrija rešavala je mnoge posebne slučajeve, ali nije davala dovoljno opštih i praktičnih postupaka. Galileo, Dekart, Fermа, Barou i drugi već su razvili važne delove slagalice. Njutn i Lajbnic nisu počeli od nule; povezali su ranije ideje u snažnije metode.
Nagib prave lako je izračunati iz dve tačke. Na krivoj, međutim, moramo pitati šta se dešava kada se dve tačke približavaju jedna drugoj. Površinu možemo približavati sve užim trakama. Ta dva problema vode ka izvodima i integralima. Njihova veza, danas poznata kao osnovna teorema analize, učinila je novu matematiku izuzetno moćnom.
Njutnova metoda fluksija
Njutn je tokom šezdesetih godina 17. veka, naročito dok je univerzitet bio zatvoren zbog kuge, razmišljao o veličinama koje „teku” kroz vreme. Promenljive je zvao fluentama, a njihove trenutne brzine promene fluksijama. Zamišljao je kretanje tačke koja iscrtava krivu i tražio odnose među promenama. Svoja otkrića je beležio u rukopisima i pismima, ali veliki deo metode dugo nije javno sistematski objavio.
Njutn je kasnije zasnovao svoju fiziku na dubokom razumevanju promena i geometrijskih granica. Ipak, u Principima iz 1687. izabrao je uglavnom geometrijski stil dokazivanja, umesto današnje simboličke analize. Razlika između ideje zapisane u privatnom rukopisu i postupka dostupnog drugim matematičarima postala je centralna za kasniji spor. Datum otkrića nije uvek datum kada zajednica može da proveri i koristi rezultat.
Christoph Bernhard Francke / Wikimedia Commons · Izvori ↗ · Uslovi korišćenja slike ↗
Lajbnicov put do simbola
Gotfrid Vilhelm Lajbnic bio je diplomata, filozof i matematičar. Intenzivno se bavio matematikom u Parizu sedamdesetih godina 17. veka, učio od Kristijana Hajgensa i tragao za opštom „računskom” metodom. Umesto Njutnovih brzina koje teku, koristio je male razlike, diferencijale. Uveo je zapis dx i dy, a izduženo S, ∫, za sabiranje beskonačno mnogo malih doprinosa. Ti znakovi nisu samo ukras: olakšavaju praćenje odnosa i prenošenje postupka drugima.
Lajbnic je 1684. objavio rad o , a 1686. o integralnim postupcima. Tekst nije ličio na savremeni udžbenik i trebalo je vremena da ga drugi razumeju. Matematičari Bernulijevi razvijali su metode i pokazivali njihovu moć na novim zadacima. Današnji zapisi dy/dx i ∫ uglavnom slede Lajbnicovu tradiciju, dok se Njutnova tačka iznad slova i dalje koristi za vremenske izvode u mehanici.
Šta su pisma mogla da dokažu?
Njutn i Lajbnic razmenjivali su informacije preko pisama i posrednika. Pojedina pisma nagoveštavala su da Njutn ima opštu metodu, ali nisu pružala potpuno uputstvo iz kog bi Lajbnic jednostavno prepisao svoj račun. Kasniji zastupnici Njutnovog prvenstva pozivali su se na datume rukopisa; Lajbnicovi zastupnici na rane štampane radove i drugačiji zapis. Istoričar mora da pita šta je tačno bilo dostupno, kome, u kom obliku i kada.
Ne postoji jednostavna vremenska linija „jedan je znao, drugi nije”. Njutn je neke ideje imao ranije; Lajbnic je ranije javno izložio sistem koji su mnogi mogli koristiti. To su različite vrste prvenstva. Još važnije, sadržaj njihovih metoda nije bio identičan: razlikovali su se polazne slike, simboli i način predstavljanja dokaza.
Od matematičkog pitanja do sukoba
Krajem 17. i početkom 18. veka pojedini Njutnovi sledbenici sve otvorenije su nagoveštavali da je Lajbnic nešto preuzeo bez priznanja. Lajbnic je odgovarao i branio svoju nezavisnost. Polemika je uključila Džona Kila, Nikola Fatioa i druge, pa je prevazišla dvojicu stvaralaca. Ugled naučnih društava i nacionalni ponos podstakli su oštriji ton. Iako su se argumenti pozivali na dokumente, učesnici nisu bili neutralni sudije.
Kraljevsko društvo u Londonu je 1712. sastavilo komisijski izveštaj. Njutn je bio njegov predsednik i imao je značajan uticaj na sastavljanje i prikaz slučaja, pa izveštaj ne možemo čitati kao nepristrasan savremeni sudski nalaz. Arhivski dokument je izuzetno vredan kao svedočanstvo samog spora, ali je i izvor čije okolnosti nastanka moramo poznavati. Izvor može biti autentičan, a ipak pristrasan.
Gottfried Wilhelm Leibniz, Tr. J. M. Child / Wikimedia Commons · Izvori ↗ · Uslovi korišćenja slike ↗
Ko je onda bio prvi?
Ako pod „prvi” mislimo na rano razvijanje osnovnih ideja u beleškama, Njutn ima snažan zahtev za prvenstvo. Ako mislimo na prvu jasnu javnu objavu , važan datum je Lajbnicova 1684. godina. Ako mislimo na simboliku koju većina sveta koristi i danas, Lajbnicov uticaj je očigledan. Nijedno od tih merila samo po sebi ne dokazuje krađu. Većina savremenih istoričara prihvata da su dva pristupa nastala nezavisno, uz svest o prethodnicima.
Spor je imao posledice i za razvoj matematike. Na evropskom kontinentu Lajbnicova notacija ubrzano se širila kroz rad njegovih saradnika. Britanski matematičari duže su se oslanjali na Njutnov stil. Nije ispravno tvrditi da je jedna svađa sama objasnila svaki kasniji uspeh ili zaostajanje, ali podela je uticala na komunikaciju i način podučavanja.
Kako račun radi na primeru
Neka put s raste sa kvadratom vremena: s = t². Za mali porast vremena od Δt, promena puta je (t + Δt)² − t² = 2tΔt + (Δt)². Kada taj izraz podelimo sa Δt, dobijamo 2t + Δt. Kako Δt teži nuli, granična stopa promene je 2t. To je izvod, odnosno trenutna brzina u odgovarajućem modelu. Kada stopu promene ponovo saberemo kroz vreme, integral nam vraća promenu puta.
U 17. veku nije postojao potpuno moderan pojam limesa, pa su matematičari raspravljali o beskonačno malim veličinama i njihovom opravdanju. Kasniji rad Košija, Vajerštrasa i drugih učinio je temelje strožim. Istorija računa zato ne završava pobedom jednog imena. Ona pokazuje kako koristan postupak može nastati pre nego što su svi njegovi logički detalji razjašnjeni.
Šta nam spor govori o nauci
Otkrivanje, objavljivanje i priznavanje nisu isto. Privatna beleška čuva trag ideje; štampani rad omogućava drugima da je provere; dobar zapis olakšava novu primenu. Pisma i arhivi nisu samo ukras uz slavna imena nego dokazni materijal koji zahteva kritičko čitanje. U ovom slučaju vidimo i kako prestiž i pripadnost grupi mogu da promene ton naučne rasprave.
Danas u udžbeniku koristimo Njutnove zakone kretanja i Lajbnicovu notaciju integrala bez potrebe da biramo jednog „pobednika”. Oba doprinosa deo su šire istorije, u kojoj su mnogi prethodnici i naslednici rešavali probleme korak po korak. Najtačniji odgovor na pitanje iz naslova glasi: Njutn i Lajbnic razvili su povezane, ali zasebne metode, a spor oko prvenstva govori nam podjednako o društvu naučnika kao i o matematici.
Isprobaj: gravitacija i orbite
Njutnov opis kretanja i gravitacije oslanja se na matematiku promene. U simulaciji menjaj početne uslove i posmatraj kako se menja orbita. Ona prikazuje primenu tih ideja u fizici, a ne istorijski spor sa Lajbnicom.
Otvori simulaciju na PhET-u ↗
Simulation by PhET Interactive Simulations, University of Colorado Boulder, licensed under CC BY-NC 4.0.
Pojmovi
— postupci za opisivanje trenutne stope promene neke veličine.
