Šta fizičar podrazumeva pod simetrijom?
Na crtežu je krug simetričan ako ga malo okrenemo, a njegov izgled ostane isti. U fizici često znači nešto suptilnije: možemo promeniti način na koji postavljamo opis ogleda, a pravilo koje predviđa ishod ostaje nepromenjeno. Na primer, izvedemo ogled sa klatnom u ponedeljak i ponovimo ga u utorak, sa istom dužinom niti, istim početnim položajem i istim uslovima. Ako se zakoni ne menjaju samo zato što je protekao jedan dan, govorimo o pri pomeranju u vremenu. Samo klatno nije „zamrznuto“: njegov položaj se neprekidno menja. Nepromenljivo je pravilo po kome se kreće.
Slično, ako ceo ogled pomerimo za metar u stranu u prostoru koji je dovoljno ujednačen, osnovni zakon ostaje isti. Ako aparaturu okrenemo, a nema povlašćenog smera, opet dobijamo isto pravilo. To su prostorna pomeranja i obrtanja. U stvarnom eksperimentu obližnji zid, magnet, strujanje vazduha ili Zemljina gravitacija mogu narušiti idealne uslove. Zato se uvek mora reći koja promena čuva pravila izabranog sistema, a ne samo da dva prizora liče jedan na drugi.
Ogled sa klatnom: gde se skriva energija?
Pomerimo kuglicu klatna u stranu i pustimo je bez dodatnog guranja. Na krajnjoj tački je visoko i na trenutak miruje: ima veću gravitacionu potencijalnu, a gotovo nikakvu kinetičku energiju. Dok se spušta, potencijalna energija se pretvara u kinetičku. Na najnižoj tački brzina je najveća. Pri penjanju na drugu stranu proces se obrće. Crtež klatna zato prikazuje putanju kuglice, ali se vrednosti energije duž te putanje menjaju.
U idealnom modelu, bez trenja i otpora vazduha, zbir potencijalne i kinetičke energije ostaje isti. Stvarno klatno se polako zaustavlja: mehanička energija prelazi u zagrevanje vazduha, niti i oslonca, kao i u zvuk. Ako posmatramo samo kuglicu, njena energija nije stalna. Ako obuhvatimo i okolinu s kojom razmenjuje energiju, možemo pratiti gde ona odlazi. Ta razlika između sistema i njegove okoline neophodna je pre nego što kažemo „energija se čuva“.
Unc.hbar / Wikimedia Commons · Izvori ↗ · Uslovi korišćenja slike ↗
Neterina teorema: most između dva pravila
Neterina teorema ne kaže da svaka stvar koja lepo izgleda simetrično automatski čuva neku energiju. Njena precizna tvrdnja odnosi se na neprekidne matematičkog opisa dinamike, posebno takozvanog . je veličina sastavljena od putanje sistema tokom vremena; princip najmanjeg, odnosno stacionarnog , daje jednačine kretanja. Ako se ne promeni pod odgovarajućim neprekidnim pomeranjem, iz jednačina se može izvesti očuvana veličina. Dokaz je matematički zahtevniji od školskog zadatka, ali je značenje rezultata vrlo konkretno.
Kada opis izolovanog sistema ne zavisi od toga kada započnemo ogled, očuvana veličina je energija. Kada ne zavisi od toga gde ujednačenog prostora postavimo ogled, čuva se . Kada ne zavisi od toga kako ga obrnemo u prostoru bez posebnog smera, čuva se . Ovo nisu tri nepovezane školske formule: sve tri proizlaze iz istog postupka. Važno je da je reč o neprekidnim promenama, recimo za proizvoljno mali vremenski pomak ili ugao, a ne samo o nekoliko posebnih položaja.
Kako je to drugačije od običnog „dokaza“ očuvanja?
U mehanici se očuvanje energije često izvodi računanjem: napišemo silu, brzinu i rad, pa pokažemo da se zbir odgovarajućih oblika energije ne menja. Taj postupak je koristan za konkretan sistem. Neterin rezultat ide korak dublje: pita zašto čitava porodica različitih modela ima zakon održanja. Odgovor je da njihov dinamički opis poseduje istu vrstu . Zato je teorema upotrebljiva mnogo šire od klatna, od klasične mehanike do teorije polja.
Ne treba, međutim, pomešati dve tvrdnje. Ako aparat uključimo u određeno vreme i zatim mu spolja menjamo uslove, energija samog aparata može se menjati. Primer je klatno čijem osloncu motor stalno dodaje energiju. To ne znači da je Neterina teorema „prestala da važi“. Odabrali smo otvoren sistem ili pravilo koje izričito zavisi od vremena; za potpuniji opis moramo uključiti motor i izvor njegove energije. Teorema nas, dakle, uči i kako da proverimo granice neke tvrdnje.
Ko je bila Emi Neter?
Emi Neter rođena je 1882. u Erlangenu u Nemačkoj. Dok je počinjala da studira, ženama nije bio otvoren isti put kroz univerzitet kao muškarcima: u početku je na pojedina predavanja dolazila uz posebnu dozvolu. Doktorirala je 1907, a zatim godinama istraživala bez redovnog akademskog položaja. Matematičari David Hilbert i Feliks Klajn pozvali su je 1915. u Getingen zbog pitanja koja je otvorila opšta teorija relativnosti. Pokušaj da stekne pravo da samostalno predaje najpre je odbijen; to joj je uspelo tek 1919.
Rad iz 1918. nastao je u tom periodu, ali nije bio jedini njen veliki doprinos. Neter je kasnije preoblikovala apstraktnu algebru, oblast koja proučava strukture i odnose među njima. Zvaničan, makar mali stalni prihod na Univerzitetu u Getingenu dobila je tek 1923. Nacističke vlasti su je 1933. udaljile sa univerziteta; nastavila je rad na koledžu Brin Mor u Sjedinjenim Državama, gde je umrla 1935. Njena biografija pokazuje koliko nauka gubi kada ustanove otežavaju talentovanim ljudima da rade i predaju.
Zašto svemir koji se širi komplikuje pitanje energije?
Zamislimo foton koji veoma dugo putuje od daleke galaksije. Dok se prostor između galaksija širi, talasna dužina njegove svetlosti raste: svetlost do nas stiže „crvenija“. Energija fotona jednaka je Plankovoj konstanti puta frekvencija, E = hν. Veća talasna dužina znači manju frekvenciju, pa foton pri prijemu ima manju energiju nego pri emisiji. -in crtež prikazuje upravo rastezanje svetlosnog talasa tokom kosmičkog putovanja.
Da li je „izgubljena“ energija negde odložena? Na skali celog svemira pitanje nije isto kao za klatno. U uobičajenom modelu svemira koji se širi, geometrija prostora i vremena menja se tokom kosmičkog vremena. Ne postoji opšta globalna pomeranja u vremenu koja bi nam dala jedno jednostavno, stalno „stanje ukupne energije svemira“. Opšta relativnost ipak zadržava lokalni zakon održanja energije i : u maloj oblasti možemo pratiti razmene i raditi precizne proračune. Zato ne treba zaključiti ni da je svakodnevni zakon očuvanja pogrešan, ni da je energija fotona morala preći u neko lako prepoznatljivo skladište. Potreban je pažljiviji pojam onoga što merimo i na kojoj skali.
Šta možemo sami da proverimo?
Napravite jednostavno klatno i obeležite najvišu tačku do koje se kuglica vraća. Ponovite ogled u različito doba dana sa istom dužinom niti i približno istim početnim otklonom. Sličan tok kretanja ilustruje ideju da vreme početka nije posebno; sve manji povratni otklon pokazuje da stvarni uslovi nisu idealni. Potom uključite ventilator pored klatna: sada se promenio sistem na koji deluju sile, pa poređenje traži dodatni opis. Ogled ne dokazuje sam celu teoremu, ali pomaže da razdvojimo zakona od pojedinačne putanje i očuvanje energije od njenog premeštanja među delovima sistema.
Najdublja poruka Neterinog rada jeste metod: kada u fizici nađemo količinu koja se čuva, pitamo koju nepromenljivost opis sistema otkriva; kada nađemo , tražimo odgovarajuću očuvanu veličinu. Takvo pitanje omogućava da različite pojave, od njihanja klatna do kretanja čestica, razumemo zajedničkim jezikom. A kada uslovi nisu ispunjeni, kao pri razmatranju čitavog svemira koji se širi, upravo nam teorema govori zašto moramo biti oprezni.
NASA, ESA, Leah Hustak (STScI) · Izvori ↗ · Uslovi korišćenja slike ↗
Pojmovi
— promena opisa koja ostavlja dinamičko pravilo nepromenjenim; — matematička veličina iz koje se izvode jednačine kretanja; — proizvod mase i brzine u klasičnoj mehanici; — mera obrtanja; — povećanje talasne dužine svetlosti tokom putovanja kroz svemir koji se širi.
